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99.9% 的人没听说过的神奇悖论(上)
送交者: 老新领导[★☆大明大宋民贵☆★] 于 2018-09-22 22:32 已读 4749 次  

老新领导的个人频道

在这个撸猫成风的年代,薛定谔的猫也跟着成为了大概是猫史最有名的猫之一了。6parker.com

虽然现在提起它,刷刷猫猫表情包的时候人们大概只是想要戏谑和玩笑,但是在科学史上,那个盒子里藏着光怪陆离的量子理论和量子的世界,人们对于薛定谔猫这个悖论的手足无措,恰好反映了当时人们对于微观和宏观,确定性和不确定性以怎样的方式相互作用并纠缠在一起而困惑。6parker.com

左边 8x8 的正方形,看上去和右边 5x13 的长方形面积一样大,难道 64=65?6parker.com

在科学发展的漫漫长河之中,人们对于概念的困惑并不只有这一个,因此提出的悖论也层出不穷,比如飞矢不动,麦克斯韦妖,薛定谔的猫,双生子佯谬等。今天的我们来看看,关于悖论,除了薛定谔的猫以外,还有哪些神奇的东西。6parker.com

克莱因悖论6parker.com

Klein Paradox6parker.com

计算模拟的波包在经过势垒时发生透射和反射6parker.com

熟悉量子理论的话都知道量子隧穿的概念。正如我们常常用来比喻的“崂山道士”那样,微观的粒子具有穿墙术,有机会能够跨越能量的崇山峻岭,来到山的那一头。当我们把一个粒子甩向墙壁的时候,薛定谔方程一般会求解出粒子有一定几率在界面会发生反射——形象点理解的话,这个崂山道士学艺不是很精,穿墙还时灵时不灵的6parker.com

穿墙术,来自《崂山道士》6parker.com

在1928年的时候,狄拉克提出了狄拉克方程,把狭义相对论引进到了量子力学当中,并预言了正电子的存在。克莱因用狄拉克方程求解了上面提到的量子隧穿的问题,结果惊人地发现,对于无质量的,遵守狄拉克方程的粒子而言,在一定条件下,势垒对于它们而言是透明的。这意味着,这些粒子的穿墙术有着 100% 的成功率。6parker.com

用狄拉克方程计算微观粒子能否穿墙6parker.com

当然,如果对于有质量的,遵守狄拉克方程的粒子而言,面对势垒,粒子大部分时候都还是保持了部分穿透的特性。可以想象,当势垒比起粒子本身的质量(质量与能量通过质能方程进行换算)大得多的时候,我们就回到了无质量的情形,粒子面对越来越高的势垒,反而越来越接近100%透射。你墙壁加得越高,跑出来的几率也变得越大。6parker.com

给一张帅气的卢瑟福肖像画6parker.com

克莱因悖论并不只是一个理论模型的计算,实际上它还打过卢瑟福的脸。在卢瑟福做完了金箔的 α 粒子的散射实验,发现原子内部大部分都是空的以后,还对 α 粒子进行了长期的研究,最后发现了原子核中,一部分是由质子构成的。他在1920年发表题为“原子的构造”(The building up of atoms)的演说,提出原子核是由带正电的质子和带负电的电子所组成的。6parker.com

强相互作用力(Strong Nuclear Force)把原子核里面的中子和质子紧紧束缚在一起6parker.com

但是你越想在原子核那么小的地方里关住电子,这些电子就跑得越厉害。假如原子核内只有质子和电子,根据克莱因悖论,电子大概早就跑干净了,卢瑟福的原子核模型不攻自破。直到1932年,查德威克发现了中子,人们才最终明白原子核是由质子和中子构成的。6parker.com

亚里士多德圆轮悖论6parker.com

Aristotle's Wheel Paradox6parker.com

拉斐尔所绘雅典学院。6parker.com

图中正中间蓝衣即为亚里士多德6parker.com

在古希腊的时候,亚里士多德考虑了一件很好玩的事情。我们搞两个直径不相同的圆轮,把它们的圆心重叠在一起,在地面上做无滑动的纯滚动时,可以看到,两个圆的底部各自都划过了一条直线。两个圆的周长显然并不相同,但是两个圆的底部却划过了相同的距离,这确实是一件令人头大的事情。6parker.com

按照一一对应的关系,似乎圆的周长应该都相等6parker.com

当然,你如果觉得上述的滚动说法实在不是那么好理解的话,你也可以想象从两个圆的共同圆心处引出一条射线,依次与内圆和外圆相交。这意味着对于内圆上的任何一个点,我们都能找到外圆上的唯一的一个点与之对应。从「朴素」的数学观点来看,就像聚沙成塔一样,如果两个沙堆里的沙子都是一一对应的话,那显然这两堆沙子应该一样大才对。然而内圆和外圆周长,真的不一样埃6parker.com

图片取自伽利略的对话录6parker.com

无独有偶,伽利略也思考过这个问题。伽利略走的是无穷逼近的路子。如果我们考虑的不是两个同心的圆,而是两个同心的正六边形的时候。在正六边形不断翻转的过程中,我们可以想象,下面的轨迹会被大的正六边形的边完全覆盖,但是上面的那条轨迹,会被跳着被小的正六边形的边接触。如果我们考虑极限,那么亚里士多德圆轮悖论里面看似一样的两条轨迹,实际上下两条轨迹并不相同。假设我们有一个「足够大」的放大镜,我们可以看到在上面 CE 那条轨迹里面到处都充满了空洞6parker.com

通俗地说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。6parker.com

上述的这些关于无穷的思考启发了康托尔发明了集合论,就像在论证偶数的个数等于整数的个数那样:将所有的偶数除以2,就等到了所有整数;把所有的整数乘以2,就得到了所有的偶数;每个整数都唯一对应了一个偶数。6parker.com

亚里士多德的圆轮上的点的数量也确实是相等的。但是点的数量和周长之间并没有什么绝对的关系,而这样也正是让我们思考最为困惑的地方。因此,数学家们还发展了测度论,用来对长度、面积、体积进行严格数学定义。6parker.com

本文转载自《中科院物理所》

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